G-No.2 极限与连续(1)

1 收敛与发散

	收敛	发散
图像表示
意义	趋近于某个固定值，如图函数 $y=arctanx,x \rightarrow \infty，y \approx \frac{\pi}{2}$	不存在一个常数 $a$ ，使得 $x$ 趋近无穷大时等于该常数，如图 $y=sinx,x \rightarrow \infty$ ，无法确定 $y$ 趋近于何值
表达式	$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=a$	$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x) \not =a$
用途	函数有极限	函数无极限

如图所示，当 $x$ 从两侧趋近于0时， $y$ 趋近于1。极限的思想即为无限逼近思想。
在这里插入图片描述

	极限	左极限	右极限
$x \rightarrow x_0$	$\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=A$	$\lim \limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=A$	$\lim \limits_{x \rightarrow x_0^{+}}f(x)=A$
$x \rightarrow \infty$	$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A$	$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=A$	$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=A$

	关系
$x \rightarrow x_0$	$\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow x_0^{+}}f(x)=A$
$x \rightarrow \infty$	$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=A$

唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的。
有界性：如果一个函数(数列)收敛（有极限），那么这个函数(数列)一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
保号性：若 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A>0$ （或<0），则对任何 $m∈(0,a)$ （ $a<0$ 时则是 $m∈(a,0)$ ），存在 $N>0$ ，使 $n>N$ 时，有 $x_n>m$ （相应的 $x_n<m$ ）。
保不等式性：设数列{ $x_n$ } 与{ $y_n$ }均收敛。若存在正数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时有 $x_n≥y_n$ ，则

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}x_n \ge \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}y_n$ （若条件换为 $x_n>y_n$ ，结论不变）。

设 $\lim \limits_{x}f(x)=A，\lim \limits_{x}g(x)=A$

运算	运算法则
和差	$\lim \limits_{x}f(x)\pm g(x)=A \pm B$
乘	$\lim \limits_{x}f(x)g(x)=AB$
商	$\lim \limits_{x}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \not=0)$

设 $f(x)=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_m}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots +b_m}$ ，则有：

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\begin{cases} \infty & n>m \\ \frac{a_0}{b_0} & n=m \\ 0 & n<m \end{cases}

此处看上去很复杂，但却非常好记，该方法也叫抓大头法求极限，看个例子放松一下吧！

已知函数 $f(x)=\frac{5x^4+x^2+5}{x^3+x}$ ，求极限 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)$ .

解： $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\frac{5x^4+x^2+5}{x^3+x}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}5x=\infty$
已知函数 $f(x)=\frac{5x^3+x^2+5}{x^3+x}$ ，求极限 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)$ .

解： $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\frac{5x^3+x^2+5}{x^3+x}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}5=5$
已知函数 $f(x)=\frac{5x^3+x^2+5}{x^4+x}$ ，求极限 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)$ .

解： $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\frac{5x^3+x^2+5}{x^4+x}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$