G-No.3 极限与连续(2)

1 两个重要极限

重要极限	原型	变型	通式
1	$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sin{x}}{x}=1$	$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sin{kx}}{x}=k$	$\lim \limits_{\Box \to 0} \frac{sin{\Box}}{\Box}=1$
2	$\lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x=\lim \limits_{x \to 0} (1 + x)^{ \frac{1}{x}}=e$	$\lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{k}{x+a})^x=e^k$	$\lim \limits_{\Box \to \infty} (1 + \frac{1}{\Box})^{\Box}=e$

重要极限2针对类型： $\lim \limits_{x \to \infty}({\frac{x+a}{x+b})^{cx+b}}$ ； $1^{\infty}$

当 $x \to \infty$ 时，有：

序号	等价无穷小
1	$x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim e^x-1 \sim ln(1+x)$
2	$1-cosx \sim x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^2$
3	$a^x-1=xlna$
4	$tanx-sinx \sim \frac{1}{2}x^3$
5	$tanx-x \sim x-arctanx \sim \frac{1}{3}x^3$
6	$x-sinx \sim \frac{1}{6}x^3$

强调：以上极限可以将 $x$ 改为任意的无穷小，等价无穷小只能用于乘法和除法，在加减法过程中不能轻易使用等价无穷小替换。

基本形式	变形	洛必达法则
$\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$	$0·\infty;\infty-\infty;1^\infty;\infty^0;0^0$	$\lim \limits_{x}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

对于幂指函数类型，常用的方法是：①取对数；②求极限；③还原。

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个领域内有 $n$ 阶的连续倒数，则

$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{x}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o[(x-x_0)^n]$

注在使用Piano型余项的泰勒展开式中，要根据表达式确定展开式的阶数.

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点

类别	间断点	说明
第一类间断点	可去间断点	$\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$
第一类间断点	跳跃间断点	$\lim \limits_{x \to x_0^-}f(x) \not= \lim \limits_{x \to x_0^+}f(x)$
第二类间断点	其他间断点	其他

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界

设 $f(x)$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，且 $f(a)f(b)<0$ ，则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得： $f(\xi)=0$

设 $f(x)$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，M和m分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，任取 $\mu$ 且 $m<\mu<M$ ，则存在 $\xi \in [a,b]$ ，使得： $f(\xi)=\mu$